Parte 3 - Transformações de Lorentz

Este artigo é continuação de "Parte 2 - Relatividade de Einstein e Lorentz".

No artigo passado vimos o princípio de simultaneadade.  Vamos desenvolver este princípio e demonstra-lo matematicamente.

A Matemática por trás das Transformações de Lorentz

Revisando o experimento anterior (em Parte-2) vimos que t ≠ t' para os observadores em movimento. Portanto o ponto no gráfico acima que satisfaz t' = 0 é o ponto em que o sinal de luz foi emitido e chegou simultaneamente com o emitido da origem (ponto no espaço-tempo que é comum tanto para o referencial em movimento quanto para o referencial parado). Dado que L pode ser qualquer distância arbitrária, temos que o seguinte referencial em movimento se relaciona com o parado:

Vimos antes, que o referencial do observador em movimento é descrito pela transformação de Galileu onde x = x' + vt. Lembre também que a inclinação da linha de movimento é v.  Portanto teu amigo ou você se movendo com velocidade v e olhando para dentro de tua nave não percebe que está se movendo. Tudo para teu ponto de vista dentro da tua nave está parado. Portanto t' é o tempo registrado pelo teu relógio assim como x' são as distâncias medidas por você (pelo ponto de vista do observador em movimento). O observador em movimento portanto percorre o eixo-t' que a equação x'=0 descreve.

Note que você está em movimento junto com tua nave. Você só poderá fazer medições com uma "trena" a partir deste referencial x'=0 e lembre-se que tua trena está acompanhando você e tem velocidade v. Este espaço definido pelas medições de tua trena é que define o referencial x'. Este referencial tem seu tempo passando de acordo com o teu relógio t'. Assim como os relógios de teus amigos observadores com velocidade v, todos testam t'=0 a partir de simultaniedade de sinais de luz.

Mas como definimos no conceito de simultaniedade, t'=0 define o ponto no referencial parado x-t que é simultaneo para o referencial x'-t'. Veja o gráfico:

O que nos resta a achar é o ponto onde se definiu que a emissão do sinal de luz (o vermelho do experimento anterior) foi zero (i.e. simultâneo com o sinal a t=0 emitido no referencial parado x-t).

 

Para conseguirmos definir o ponto de simultaniedade que define o eixo-t' temos que achar a equação de x= -t + b  i.e. descobrir qual é o valor de b. Assim temos:

x=t

i.e. luz emitida da origem

x = -t + b

i.e. luz emitida do ponto simultâneo a origem de acordo com o observador em movimento

ou portanto,  b = x + t

Primeiramente temos que achar o ponto onde o observador em movimento avistor os dois sinais de luz chegarem simultaneamente.

Na intercessão onde passa a linha x = -t + b também passa as seguintes linhas: x = vt + L  e  x=t

Portanto podemos descrever as equações em termos da distância arbitrária L. Assim temos,

se x= vt + L, em x=t temos,

t - vt = L

fatorando o termo comum t temos,

t (1-v) = L

portanto,

t = L/(1-v)

para x temos,

x = vx + L

x - vx = L

fatorando o termo comum x temos,

x(1-v) = L

portanto,

x = L/(1-v)

i.e. o ponto faz parte da equação do sinal de luz vermelho (i.e. o que é simultâneo para o observador em movimento.) Assim podemos calcular o valor de b.

Portanto,

b = x + t

i.e. b = L/(1-v) + L/(1-v)

Definido a equação do sinal de luz onde vinda do ponto de simultaniedade, podemos calcular o ponto de onde essa luz (a vermelha do último experimento) veio. Tendo que a equação que descreve o raio de luz vermelho ée que este raio proveio do teu amigo que se movimenta por x = vt + 2L, temos que o ponto exato onde esse raio de luz veio em temos de L e em termos do referencial parado temos:

e substituindo de volta este termo podemos calcular x :

Portanto sabemos qual ponto em relação ao referencial parado (espaço x-t) foi-se observado pelo observador do meio que t'=0 (i.e. o tempo respectivo a ele foi equivalente a zero).

Concluimos então que referente ao referencial x-t o ponto t'=0 do experimento foi:

O que procuramos no entanto é a linha que define, para qualquer observador no referencial em movimento (i.e. o que está com velocidade v em relação ao referencial parado) ,  t'=0 ou seja o eixo-x' em termos do eixo-x. Para isso usaremos que uma linha é definida como forma y=mx+b definida aqui. Para o nosso gráfico temos x = vt + b e o ponto acima deve satisfazer essa equação tal que:

Portanto o eixo-x' é descrito tanto pelo referencial em movimento pela linha t'=0 quanto pelo referencial parado pela linha x=t/v ou mais simplesmente t=vx.

Agora temos o referencial em movimento definido por linhas que ao se aproximarem da velocidade da luz (i.e. v —› c ou v —›1)  convergem para linha x=t ou x'=t' onde c=1 i.e. linha de inclinação 1. Assim podemos ver como ao visualizar v se aproximar de c o eixo-t do referencial em movimento que representa todos os pontos de distância zero da origem x' se aproxima proporcionalmente pelo fator v (i.e. representado no referencial parado pela linha x=vt). Assim como o eixo que representa todos os pontos simultâneos no referencial em movimento (i.e. t'=0 ou eixo-x') se aproxima por um fator inversamente proporcional a v (i.e. representado no referencial parado pela linha x=t/v).

Isso demonstra como o referencial nunca pode alcançar a velocidade da luz, pois alcança-la representaria parar no tempo e encolher ao infinitesimo o tamanho das medição ao longo de x'.

Daí é que vem as transformações de Lorentz! Assim como transformamos de um referencial para outro pelas transformações de Galileo (i.e. x' = x + vt) para velocidades pequenas, podemos dentro do referencial que converge ao aumentar para perto da velocidade da luz fazer transformações parecidas com as de Galileo porém com um fator corretivo: o fator de Lorentz que iremos demostrar.

Obs: Neste artigo, iremos nos referir a um ponto ou evento como um local no espaço (ao longo do eixo-x ou x’) e no tempo (ao longo do eixo-t ou t’). Esse ponto pode ser expresso tanto em termos do referencial parado quanto em termos do que está em movimento. Assim dado as coordenadas em um referencial, podemos calcular, através de equações de transformação, as coordenadas do evento em relação a outro referencial. Do mesmo modo que fazemos pelas transformações de Galileo quanto pelas que iremos definir para referenciais em altas velocidades perto de c. i.e. as Transformações de Lorentz.

Assim definimos um ponto no espaço-tempo, i.e. um evento, em termos dos respectivos eixos do referencial em movimento:

Assim definimos:

Eixo-t’ - o eixo que para o observador em movimento x’=0. i.e. Para qualquer valor de t’ (que é o tempo contado pelo observador em movimento) as medições de distância a partir desse observador é zero. Este eixo é visualizado pelo referencial parado pela função x=vt (onde v é a velocidade em que x’ sempre será zero, passando pelo tempo e definindo todos pontos no tempo em que a distância do observador permanece zero).

Eixo-x’ - o eixo do referencial em movimento em que o tempo t’ se inicia e é a linha que, para o observador em movimento, define todos os pontos ao longo do eixo-x’ que são simultâneos quando t’=0. Este eixo é visualizado pelo referencial parado pela função que definimos anteriormente: a função onde x = t/v.

Definindo que c=1, vimos anteriormente que o quando t'=0,  x=t/v. No entanto podemos voltar nosso pensamento lá no artigo Parte-1 e rever esse conceito. Vamos supor que o eixo-t define o referencial parado e tem unidades de segundo. Portanto em nosso gráfico teremos as unidades de x medidas em seg. luz (i.e. 1 seg.luz = 300.000 Km). Assim teremos um gráfico onde as velocidades são medidas corretamente em seg.luz/seg. e assim a luz tem velocidade de 1 seg.luz/seg. Correto! Mas como podemos ter uma função onde x=t/v? As unidades não são coerentes. Veja:

Se x = t/v

e x é em seg.luz (i.e. unidade de distância)

t em segundos (i.e. unidade de tempo)

v deve ser em seg.luz/seg (i.e. unidade de velocidade) mas a função x=t/v não obedece isso. Portanto deve haver uma correção a esta função que a torne coerente em unidades de distância. Esta função é:

Corrigindo para coerência em unidades temos que multiplicar pelo quadrado da velocidade da luz i.e. c²

Tal que x = (t/v) c²

Note que esta função que define o eixo-x' pode ser escrita em termos de x.

i.e. t = x(v/c²) e não apenas t = vx

Desta forma fica a análise dimensional fica coerente e também faz com que t = t' quando v é muito menor que c, principalmente muito menor que c² pois o termo (v/c²) fica tão pequeno que pode ser considerado zero. Assim faz que a transformação de coordenadas entre uma coordenada do referencial parado para o em movimento seja t' = t - x(v/c²) descrita no gráfico acima, seja apenas t' = t.
i.e. x(v/c²) –› 0.

O próximo passo para definirmos transformações entre coordenadas de referenciais parados para coordenadas de referenciais em movimento é definir as propriedades dessas transformações:

Transformações de coordenadas devem ser recíprocas. Assim como nas de Galileo,

x = x’ + vt  (visto  pelo observador parado)

t = t'

é o mesmo que sua recíproca (exeto com sinal contrário pois o outro vê o movimento contrário)

x’ = x – vt

t' = t

Para que em todos referenciais (inclusive os de velocidades próximas as da luz) as transformações de coordenadas funcionem, deve haver uma função que multiplicada a transformação de Galileo, poderemos obter reciprocidade. Essa proporcionalidade pode ser uma função da velocidade para que se possa tanto conservarmos o princípio de reciprocidade quanto o princípio de que a velocidade da luz é invariável em qualquer referencial (os em movimento ou não).

Leia mais sobre as duas hipóteses fundamentais usadas por Einstein para derivar as transformações de Lorentz em seu trabalho na Relatividade Restrita.

Podemos descrever esta transformação utilizando funções arbitrárias de proporcionalidade a velocidade do referencial x’-t’ no espaço-tempo x-t que aplicadas a transformação de Galileo e através dos princípios da relatividade poderemos calcular.

Assim temos:

Onde ƒ(v) e g(v) são funções de proporcionalidade tal que se conserve o princípio de reciprocidade entre referenciais e o da invariância da velocidade da luz para qualquer referencial.

Vamos partir do princípio invariância da velocidade da luz. Desta forma iremos testar os pontos em x=ct. Assim temos:

Se a velocidade da luz é invariável em qualquer referencial, temos então que x' = ct' assim como x = ct. Isso implica que se

     e     ,

g(v) = ƒ(v)

e se as equações devem ser recíprocas nos referenciais podemos supor que as equações conservam essa propriedade tal que a partir de

e ƒ(v) deverá corresponder a uma função da velocidade tal que reciprocamente

subtraindo as funções de espaço temos:

Nota: Em relatividade ƒ(v) é também chamado de Fator de Lorentz  (letra grega gama).

Assim podemos transformar coordenadas de um evento (ponto no espaço-tempo) de um referencial para outro dentro dos princípios da relatividade de acordo com as transformações de Lorentz abaixo:

Parte 2 - Relatividade de Eistein e Lorentz

Este artigo é continuação da Parte 1 - Relatividade de Galileu e Newton.

Relembrando Galileu, a equação para descrever o movimento relativo enter dois referenciais pode ser escrita com as seguintes formas:

x = x' + vt     ou     x' = x - vt

Nota: até antes de Einstein se pensava que o tempo passava igualmente em relação a qualquer referencial. Tal que t = t'.

Equações de Maxwell

Ao estudar que as equações de Propagação de Ondas Eletromagnéticas de Maxwell previam que estas ondas tinham a propriedade de sempre se propagarem a uma velocidade constante c, (independente se o referencial que mede está ou não em movimento) Einstein percebeu que se a luz ao se propagar no espaço tem velocidade constante (como nas formulas de Maxwell em Eletromagnetismo) então as transformações de Galileu e Newton para descrever movimentos relativos (equações acima) não poderiam ser verdadeiras para todas as velocidades e referenciais.

Maxwell (1865) escreveu sobre a propagação de ondas eletromagnéticas:

Esta velocidade é tão próxima da velocidade da luz que parece que temos fortes motivos para concluir que a luz em si (incluindo calor radiante, e outras radiações do tipo) é uma perturbação eletromagnética na forma de ondas propagadas através do campo eletromagnético de acordo com as leis eletromagnéticas.

O que as equações de Maxwell previam era que a medição da velocidade da propagação eletromagnética em qualquer referencial terá sempre o mesmo valor. Independentemente se estes referenciais se movem em relação um ao outro. Portanto Einstein pensou que de algum modo deve haver uma função de proporcionalidade que faz com que v + v' nunca ultrapasse a velocidade da luz pois ambos referenciais a medem com a mesma velocidade. Por esse motivo, as transformações de Galileu não fazem sentido em todos os referenciais:

eg. Se  v=0,8c  e  v'=0,8c  então  v + v'  tem que ser,
nessa condição, sempre menor que c  e não 1,6c.

Outro eg. Se um fóton vê o outro vindo na direção oposta,

ele não o vê com velocidade 2c  e sim com velocidade c!

Curiosamente, Einstein imaginou então que para isso ocorrer não seria possível que x = x' + vt nem que t = t'.  Para que a velocidade da luz sempre fosse igual como medida por qualquer referencial (independente de sua velocidade em relação a outro referencial) deveria-se aplicar uma "correção" tanto em x' (a distância relativa) como em t' (o tempo como medido por outro observado, i.e. o tempo relativo) para fazer as equações de movimento relativo serem verdadeiras em qualquer referencial.

Simultaniedade e Sincronismos de Relógios

A análise de como poderia-se medir o tempo e distância em relação a diferentes referenciais (em movimento ou não) segue do princípio de sincronia de relógios ou cronômetros. Para testarmos a sincronia entre relógios distantes um do outro é preciso que haja um observador posicionado exatamente no meio dos relógios. Combina-se que exatamente ao meio-dia, os dois observadores (i.e. você e teu amigo) acendam suas lanternas em direção um ao outro. Ao passar do tempo as luzes irão se cruzar. Se o observador teste do meio ver que ambas luzes chegaram ao mesmo tempo, supõe-se que seus relógios estão sincronizados.

Será que isso ocorre quando todos (i.e. você, teu amigo e o observador no meio) estão em movimento com a mesma direção e velocidade?

Analise o gráfico abaixo. Como poderíamos testar a simultaniedade de cronômetros observando de longe os sinais de luz de outro observador? Poderíamos testar esta simultaniedade dos relógios assim como falamos, colocando um observador exatamente no meio do caminho entre você e seu amigo. Se todos estiverem parados, o observador do meio estiver realmente no meio e os relógios realmente estiverem em sincronia, após os disparos de luz no horário pré-determinado, o observador do meio verá os dois raios de luz chegarem a ele simultaneamente! Veja abaixo. As linhas verticais mostram que todos estão parados (você na origem i.e. x=0, o observador do meio i.e. x=L e o teu amigo em x=2L.) As linhas diagonais representam a luz, pois ela se move em velocidade finita c.

Ao escolhermos unidade de tempo e distância corretos, podemos manipular o valor de c. Se usarmos como unidade para o eixo-x segundos-luz, a velocidade da luz, nesta representação, terá magnitude 1 seg-luz/seg. Assim c=1 para emissões de luz no sentido +x e c=-1 no sentido -x.

Veja o vídeo ilustrativo sobre movimento relativistico aqui.



Einstein pensou como seria este teste se os três (você, o teu amigo e o observador no meio) estivessem em suas respectivas naves espaciais onde todos estão se movimentando juntos (i.e. parados em relação um ao outro) mas com velocidade uniforme próxima a velocidade da luz. Se a luz tem velocidade finita, como este teste poderia confirmar a simultaniedade dos relógios usando esta técnica?

Para analisarmos simultaniedade e os efeitos do movimento a velocidades perto de c, teremos que considerar as unidades de tempo como medidas em espaço (seg. luz i.e. 1 segundo de tempo representa 300.000Km). Também consideraremos o eixo-x ter unidades seg.-luz (i.e. 300.000Km). Assim poderemos considerar a velocidade da luz uma grandeza sem unidades e de magnitude igual a 1.

Tal que c=1

ou que a velocidade da luz seja expressa pelas linhas de inclinação 1

i.e. a linha x = t ou x = -t descrevem o movimento da luz a partir da origem.
Mais genericamente:

x = t + constante para qualquer raio de luz na direção +x

e x = -t + constante para qualquer raio de luz na direção -x.

Vamos supor que haja 3 naves espaciais. Todas em movimento retilíneo uniforme no espaço. Todas na mesma velocidade e equidistantes do observador do meio. Todas na direção do eixo-x positivo. Assumiremos que quando estes estiveram juntos, sincronizou-se os relógios. Após se distanciarem para o teste, ficaram os três em fila ao longo do eixo-x com distâncias de separação L. Quando você passar pela terra (agora assumindo que ela esteja parada) você irá disparar uma luz em direção ao observador do meio, assim como o teu amigo lá em 2L também irá disparar em direção contrária. Nota: Devido a velocidade em relação a terra ser sabida (v) calcula-se exatamente o horário que você irá passar pela terra. Este é o horário combinado para se efetuar o disparo simultâneo por ambos. Assim temos o gráfico abaixo:


O gráfico descreve as seguintes suposições:

1. Os três observadores estão dispostos ao longo do eixo-x e equidistantes por L (você, o do meio e teu amigo).
2. Outro referencial se considera parado (Terra).
3. Teus amigos não se movem em relação ao teu referencial x' pois você se movimenta exatamente com a mesma velocidade.
4. Todos relógios foram sincronizados na Terra.
5. Antes do experimento ser realizado, foi calculado exatamente o horário que você em sua nave iria passar pela Terra (i.e. onde o eixo x cruza o eixo x').
6. Todos disparam o sinal de luz no horário t=0.

Observadores em Movimento Relativistico

Resultados do experimento:

1. O teste falha. O observador do meio vê o sinal emitido do teu amigo primeiro do que o que você emitiu.
2. O teu amigo fica disparando luzes de cores diferentes até que uma dessas cores chega simultaneamente com o primeiro sinal que você enviou. Cada cor de luz representa um segundo no relógio do teu amigo. A cor vermelha foi a cor que chegou exatamente ao mesmo tempo que a tua.
3. Na verdade, para o teu amigo, você começou a enviar sinais antes do combinado!

Conclusões do experimento:

1. O horário combinado não foi simultâneo pois ao viajar ao observador do meio, a luz do teu amigo teve que percorrer um caminho menor do que o caminho percorrido pela luz que você emitiu. Pois estão todos se movimentando com velocidade proporcional a da luz.
2. A luz emitida por você corresponde a uma luz emitida por alguém na Terra. Pois foi por lá que o teu referencial se cruzou com o referencial da Terra e a luz se propaga em velocidade constante em todos os referenciais.
3. Para você a luz vinda de você ou do teu amigo percorreram a mesma distância pois você e os teus amigos estão equidistantes ao longo do eixo-x. Para alguém na Terra isso não ocorreu.
4. O único sinal de luz que correspondeu a um sinal simultâneo com o teu foi o vermelho, algum tempo depois. Este, tanto para você, quanto para o observador do meio, são realmente simultâneos.
5. O relógio do teu amigo adiantou no tempo, pois o primeiro sinal foi realmente enviado na hora combinada!
6. Para o teu referencial (o referencial em movimento x't') o sinal vermelho é equivalente a t'=0. Só quando esse é zero há simultaniedade dentro do referencial em movimento.

Assista outro vídeo que ilustra os gráficos acima aqui.

Próximo artigo é "Parte 3 - Transformações de Lorentz" e iremos tratar do desenvolvimento matemático que demonstra as transformadas de Lorentz. i.e. a função de proporcionalidade que aplicada as transformações relativisticas de Galileu faz valer em todas referenciais.

Parte 1 - Relatividade de Galileu e Newton

Este artigo segue da abertura que está em "Sobre o Blog".

Princípios e Suposições

Vamos começar com uma revisão do que Galileu pensava sobre movimentos relativos, isto é, como ele pensava sobre o tempo e deslocamento relativo a um observador qualquer. Este é um exemplo bem simples estudado por Galileu: Digamos que o observador está parado em relação a um ponto de referência digamos o eixo x e observa um objeto se movendo na direção do eixo x com velocidade constante. É como nós aprendemos na escola. Se um objeto se movimenta na direção x por algum tempo t ele terá uma velocidade igual a v=x/t (i.e., a velocidade dele é a distância x em Km dividida pelo tempo t em minutos). Isso é claro se ele estiver em velocidade constante. No dia-a-dia nada tem uma velocidade constante. Então esse cálculo normalmente serviria apenas para obter a velocidade média do objeto e descreve-la matematicamente em um gráfico. Como se faz com carros em uma corrida, por exemplo.

Iremos, por razão de ilustração, fazer o seguinte experimento mental e plotar um gráfico para descrever movimento. Mas antes de plotarmos os pontos que descrevem a posição do objeto em relação a um cronômetro, vamos fazer as seguintes suposições:

1- Você é o observador que está parado em relação ao eixo x. O tempo é marcado por você que está estacionado na posição x=0.

2- O objeto que se move é o vagão de um trem onde o teu amigo está. O vagão se movimenta para a direita ao longo do eixo x positivo. Convencionando que sempre para direita é a direção positiva e para esquerda a direção negativa.

3- O eixo x é a única trajetória possível para se locomover. São os trilhos do trem. O trem só se pode ir e voltar por eles. Você e o vagão do seu amigo só têm essa dimenção para se locomoverem, o eixo x. Portanto você não pode sair e se mover para outra direção y ou z do mundo 3D, porque assim o trem sairia dos trilhos.

4- O tempo passa de forma que o teu relógio e o do teu amigo que está no vagão estão sincronizados.

5- A cada 250 metros há um marcador que aciona e acende uma luz no vagão anunciando a passagem do carro pelo marco. Você cronometra o acendimento da luz para calcular a velocidade sabendo que essa luz só acende quando o vagão passa pelo marco.

6- O teu amigo faz o mesmo lá de dentro do carro. Ambos anotam os resultados.

Pequeno Exercício

Ao passar por você no marco x=0, você inicia o cronômetro exatamente quando o vagão passa por você. Na estrada do eixo x ele vê que o objeto passa pelo marco de 250m após 30 segundos e assim após 2 minutos ele alcançou o marco de 1Km. Você assim percebe que a velocidade do vagão não mudou pois percorreu quatro trechos de 250m sempre em 30seg cada - conclusão, o vagão tem velocidade de 0,5Km/min i.e. 0,5Km*(60min/1hora) = 30Km/h. Já que se concluiu que a velocidade do carro não mudou durante todo o tempo do teste, concluimos que a velocidade é retilínea e constante i.e. uniforme. Você fez a seguinte anotação em forma gráfica:

O seu amigo também faz as mesmas anotações e plota os resultados em um gráfico similar.

Acima vemos como podemos descrever o movimento de um objeto com trajetória na direção do eixo x e medindo o tempo passado pelo cronômetro do observador posicionado e parado em relação ao eixo x. Isto é, o observador do objeto (vagão) em movimento não se movimenta em relação a origem e tem velocidade v=0 no eixo x.

Repare que você com o cronômetro no eixo x=0 percorre nesse gráfico uma trajetória, mas não uma trajetória no espaço e sim no tempo. Você não se movimenta na dimenção x. O tempo não pára. Tudo nesse gráfico está em movimento no gráfico pois o tempo não pára. Alguém parado em relação ao eixo x na verdade se movimenta no eixo t do gráfico. Nessa análise, o tempo passa igualmente para você e o vagão em movimento.

Em termos matemáticos (agora vamos usar alguma algebra) você está posicionado em x=0. No gráfico x=0 não é um ponto. Um ponto, por exemplo, seria as marcações das observações: x=250m e t=30seg i.e. ponto (0,250Km , 0,5min). Por isso dizemos que neste gráfico você está percorrendo a trajetória ao longo do eixo t. Sua trajetória portanto é a linha da função matemática x=0 onde qualquer valor de t é possível (eg. os pontos (0Km , 0seg), (0Km , 30seg), (0Km , 60seg), etc. existiram e descreveram a sua trajetória no gráfico. Durante todos os valores de tempo, o valor de x é igual a 0 (x=0 pois você não se locomoveu no eixo x) mas t continua mudando e sempre aumentando é claro. Outro exemplo seria uma outra pessoa observando você e o carro na posição x=1Km. A representação matemática deste observador em x=1Km é uma linha vertical que passa pela posição x=1Km e se ele estiver em relação a você sempre parado, após qualquer período ele sempre estará a 1 Km de distância de você. A função matemática que descreve este observador é dada por x=1 no gráfico.

Um pouco de Matemática

Agora, podemos nos perguntar: qual seria a função matemática que descreve a posição do objeto em movimento? Relembrando lá no ensino médio, toda função linear tem a seguinte forma: y=mx + b. Onde m é coeficiente de inclinação da linha dado por:

    ou seja m é a mudança de y divida pela mudança em x.

Aplicando a Matemática

No caso do gráfico (x , t) x é uma função do tempo, i.e. x=f(t) e tem forma x=mt + b, assim teremos m = (x2 - x1)/(t2 - t1). Perceba que a função de tempo é uma equação que representa a sua posição na origem com a posição inicial do teu amigo em b no início da tomada de tempo, neste caso temos b=0.  i.e. m é a velocidade calculada assim: Início da tomada de tempo foi no ponto x1=0 e t1=0, o seguinte ponto registrado foi x2=0,25Km, t2=0,5min o resultado para m fica assim:

m = (0,25Km - 0Km)/(0,5min - 0min)

m= 0,25Km/0,5min

m=0,5Km/min

ou 30Km/h

Portanto de acordo com o que mostramos anteriormente, a função que descreve o deslocamento é: x=mt para b=. Mas podemos daqui por diante chamar m (o coeficiente de inclinação de uma função linear) de v (a velocidade do vagão); assim podemos descrever o movimento do vagão pela seguinte função de tempo x=f(t)=vt+b onde b é zero no caso do vagão que iniciou o teste no ponto x=0, t=0. Portanto a equação que descreve o movimento do teu amigo no vagão é a função x=0,5t + 0 ou simplesmete x=0,5t para descrever o seu movimento. Vamos testar um ponto no futuro? Quando t=2min temos:

x=0,5t

x=(0,5Km/min)*(2min)

x=1Km

Portanto o ponto (1Km , 2min) é um ponto no trajeto do vagão. Assim como fizemos para esse valor de t podemos calcular a posição em x ou a posição no tempo do teu amigo. Por exemplo, poderiamos pergutar: Com quanto tempo após a passagem do vagão ele estará a 5Km de distância?

x=0,5t

5Km=(0,5Km/min)*t

t=5Km/(0,5Km/min)

t=10min

Portanto após 10 minutos o vagão estará posicionado a 5 Km de você em x=0.

Outro Exercício Mais Genérico Que Define as Transformações de Galileu

Outra hipótese mais generalizada seria iniciar o mesmo teste quando o vagão já está avançado a sua frente a uma distância arbitrária, digamos L. Ou seja, quando o vagão passa pelo marco L você começa a cronometrar e fazer o mesmo teste. Agora os cálculos serão exatamente como antes exceto que todas as posições a partir de L irão ter mais essa distância inicial L. i.e. o primeiro marco a ser medido será em 0,25Km + L  e assim por diante. Como antes você calcula a velocidade e verifica que é a mesma do outro teste e permanece constante. Assim teremos o seguinte gráfico:

Repare que a posição inicial do teste é o marco L; i.e. o ponto (L Km , 0 seg). Esse ponto foi onde o teu amigo estava no início do teste. Portanto a posição inicial x' do teu amigo é igual a L no instante t=0. Portanto, nesse gráfico temos: x = vt + x' .
Nota: isso é porque todos os pontos em x'=L terão:

• a distância x em relação a você;
• a distância x' em relação eixo onde x'=0 e;
• o eixo x'=0 sempre terá sua distancia do eixo x=0 aumentando com o tempo. A função x=vt que descreve o eixo x'=0. i.e. Todos os pontos da função x=vt descrevem o eixo x'=0.

Ou seja, como no outro gráfico, x será igual a vt no entanto terá um valor inicial que foi posição do referencial do teu amigo x'.  Conclusão x = vt + x' faz sentido!

O Exercício Sob Outro Ponto de vista

Tudo isso parece trivial. Mas agora imagine que o seu amigo no vagão fica observando você. Para ele você é que está se movimentando para longe dele com uma velocidade exatamente oposta da que você o vê se afastando. Se ele fizesse um gráfico da tua posição em relação a ele, e ele assumindo que está parado em relação ao seu referencial eixo x'=0, esse gráfico seria assim:

Nesse caso agora, para o teu amigo, você está se movendo para longe dele com uma velocidade negativa -v, pois foi convencionado que o movimento do vagão (ou seja do teu amigo) é a direção positiva. A tomada de tempo foi iniciada no marco L onde para o teu amigo significa a posição x. (Nota: Assim como no exercício anterior, agora x é a posição inicial do teu referencial e de fato você sempre está na posição x em termos da distância inicial do teste).

Assim teremos:

Lembrete: A forma das equação que representam qualquer função linear é f(t)=mt+b

Substituindo as variáveis correspondentes:

i.e. m = -v   e    b=x (sua posição inicial)

f(t') = -vt' + x

mas t = t' para cronômetros sincronizados, portanto:

x' = -vt + x

ou

x' = x - vt

Conclusão das transformações de Galileu

Tendo os cronômetros sincronizados corretamente para que tenhamos t=t', teremos f(t')=x' podendo ser descrito por x' = -vt' + x  i.e. o teu movimento será descrito por ele da mesma forma mas com velocidade negativa, x'=-vt' e mais a tua posição inicial x. Lembrando que os cronômetros estão sincronizados para t=t' teremos x' = -vt + x.

Na verdade, era simples provar que x'= -vt + x pela primeira explicação de movimento do vagão do teu amigo onde mostramos que x = vt + x'. É só usa algebra simples:

x = vt + x'

tratando a equação como tal podemos subtrair vt dos dois lados

x - (vt) = vt + x' - (vt)

assim temos

x - vt = x'

o mesmo que

x'= x - vt

Iremos continuar mais tarde com mais conceitos: sincronismo de relógios e cronômetros, teste de simultaniedade, mais movimentos relativos com alguma álgebra e trigonometria... não perca!!!