Parte 2 - Relatividade de Eistein e Lorentz

Este artigo é continuação da Parte 1 - Relatividade de Galileu e Newton.

Relembrando Galileu, a equação para descrever o movimento relativo enter dois referenciais pode ser escrita com as seguintes formas:

x = x' + vt     ou     x' = x - vt

Nota: até antes de Einstein se pensava que o tempo passava igualmente em relação a qualquer referencial. Tal que t = t'.

Equações de Maxwell

Ao estudar que as equações de Propagação de Ondas Eletromagnéticas de Maxwell previam que estas ondas tinham a propriedade de sempre se propagarem a uma velocidade constante c, (independente se o referencial que mede está ou não em movimento) Einstein percebeu que se a luz ao se propagar no espaço tem velocidade constante (como nas formulas de Maxwell em Eletromagnetismo) então as transformações de Galileu e Newton para descrever movimentos relativos (equações acima) não poderiam ser verdadeiras para todas as velocidades e referenciais.

Maxwell (1865) escreveu sobre a propagação de ondas eletromagnéticas:

Esta velocidade é tão próxima da velocidade da luz que parece que temos fortes motivos para concluir que a luz em si (incluindo calor radiante, e outras radiações do tipo) é uma perturbação eletromagnética na forma de ondas propagadas através do campo eletromagnético de acordo com as leis eletromagnéticas.

O que as equações de Maxwell previam era que a medição da velocidade da propagação eletromagnética em qualquer referencial terá sempre o mesmo valor. Independentemente se estes referenciais se movem em relação um ao outro. Portanto Einstein pensou que de algum modo deve haver uma função de proporcionalidade que faz com que v + v' nunca ultrapasse a velocidade da luz pois ambos referenciais a medem com a mesma velocidade. Por esse motivo, as transformações de Galileu não fazem sentido em todos os referenciais:

eg. Se  v=0,8c  e  v'=0,8c  então  v + v'  tem que ser,
nessa condição, sempre menor que c  e não 1,6c.

Outro eg. Se um fóton vê o outro vindo na direção oposta,

ele não o vê com velocidade 2c  e sim com velocidade c!

Curiosamente, Einstein imaginou então que para isso ocorrer não seria possível que x = x' + vt nem que t = t'.  Para que a velocidade da luz sempre fosse igual como medida por qualquer referencial (independente de sua velocidade em relação a outro referencial) deveria-se aplicar uma "correção" tanto em x' (a distância relativa) como em t' (o tempo como medido por outro observado, i.e. o tempo relativo) para fazer as equações de movimento relativo serem verdadeiras em qualquer referencial.

Simultaniedade e Sincronismos de Relógios

A análise de como poderia-se medir o tempo e distância em relação a diferentes referenciais (em movimento ou não) segue do princípio de sincronia de relógios ou cronômetros. Para testarmos a sincronia entre relógios distantes um do outro é preciso que haja um observador posicionado exatamente no meio dos relógios. Combina-se que exatamente ao meio-dia, os dois observadores (i.e. você e teu amigo) acendam suas lanternas em direção um ao outro. Ao passar do tempo as luzes irão se cruzar. Se o observador teste do meio ver que ambas luzes chegaram ao mesmo tempo, supõe-se que seus relógios estão sincronizados.

Será que isso ocorre quando todos (i.e. você, teu amigo e o observador no meio) estão em movimento com a mesma direção e velocidade?

Analise o gráfico abaixo. Como poderíamos testar a simultaniedade de cronômetros observando de longe os sinais de luz de outro observador? Poderíamos testar esta simultaniedade dos relógios assim como falamos, colocando um observador exatamente no meio do caminho entre você e seu amigo. Se todos estiverem parados, o observador do meio estiver realmente no meio e os relógios realmente estiverem em sincronia, após os disparos de luz no horário pré-determinado, o observador do meio verá os dois raios de luz chegarem a ele simultaneamente! Veja abaixo. As linhas verticais mostram que todos estão parados (você na origem i.e. x=0, o observador do meio i.e. x=L e o teu amigo em x=2L.) As linhas diagonais representam a luz, pois ela se move em velocidade finita c.

Ao escolhermos unidade de tempo e distância corretos, podemos manipular o valor de c. Se usarmos como unidade para o eixo-x segundos-luz, a velocidade da luz, nesta representação, terá magnitude 1 seg-luz/seg. Assim c=1 para emissões de luz no sentido +x e c=-1 no sentido -x.

Veja o vídeo ilustrativo sobre movimento relativistico aqui.



Einstein pensou como seria este teste se os três (você, o teu amigo e o observador no meio) estivessem em suas respectivas naves espaciais onde todos estão se movimentando juntos (i.e. parados em relação um ao outro) mas com velocidade uniforme próxima a velocidade da luz. Se a luz tem velocidade finita, como este teste poderia confirmar a simultaniedade dos relógios usando esta técnica?

Para analisarmos simultaniedade e os efeitos do movimento a velocidades perto de c, teremos que considerar as unidades de tempo como medidas em espaço (seg. luz i.e. 1 segundo de tempo representa 300.000Km). Também consideraremos o eixo-x ter unidades seg.-luz (i.e. 300.000Km). Assim poderemos considerar a velocidade da luz uma grandeza sem unidades e de magnitude igual a 1.

Tal que c=1

ou que a velocidade da luz seja expressa pelas linhas de inclinação 1

i.e. a linha x = t ou x = -t descrevem o movimento da luz a partir da origem.
Mais genericamente:

x = t + constante para qualquer raio de luz na direção +x

e x = -t + constante para qualquer raio de luz na direção -x.

Vamos supor que haja 3 naves espaciais. Todas em movimento retilíneo uniforme no espaço. Todas na mesma velocidade e equidistantes do observador do meio. Todas na direção do eixo-x positivo. Assumiremos que quando estes estiveram juntos, sincronizou-se os relógios. Após se distanciarem para o teste, ficaram os três em fila ao longo do eixo-x com distâncias de separação L. Quando você passar pela terra (agora assumindo que ela esteja parada) você irá disparar uma luz em direção ao observador do meio, assim como o teu amigo lá em 2L também irá disparar em direção contrária. Nota: Devido a velocidade em relação a terra ser sabida (v) calcula-se exatamente o horário que você irá passar pela terra. Este é o horário combinado para se efetuar o disparo simultâneo por ambos. Assim temos o gráfico abaixo:


O gráfico descreve as seguintes suposições:

1. Os três observadores estão dispostos ao longo do eixo-x e equidistantes por L (você, o do meio e teu amigo).
2. Outro referencial se considera parado (Terra).
3. Teus amigos não se movem em relação ao teu referencial x' pois você se movimenta exatamente com a mesma velocidade.
4. Todos relógios foram sincronizados na Terra.
5. Antes do experimento ser realizado, foi calculado exatamente o horário que você em sua nave iria passar pela Terra (i.e. onde o eixo x cruza o eixo x').
6. Todos disparam o sinal de luz no horário t=0.

Observadores em Movimento Relativistico

Resultados do experimento:

1. O teste falha. O observador do meio vê o sinal emitido do teu amigo primeiro do que o que você emitiu.
2. O teu amigo fica disparando luzes de cores diferentes até que uma dessas cores chega simultaneamente com o primeiro sinal que você enviou. Cada cor de luz representa um segundo no relógio do teu amigo. A cor vermelha foi a cor que chegou exatamente ao mesmo tempo que a tua.
3. Na verdade, para o teu amigo, você começou a enviar sinais antes do combinado!

Conclusões do experimento:

1. O horário combinado não foi simultâneo pois ao viajar ao observador do meio, a luz do teu amigo teve que percorrer um caminho menor do que o caminho percorrido pela luz que você emitiu. Pois estão todos se movimentando com velocidade proporcional a da luz.
2. A luz emitida por você corresponde a uma luz emitida por alguém na Terra. Pois foi por lá que o teu referencial se cruzou com o referencial da Terra e a luz se propaga em velocidade constante em todos os referenciais.
3. Para você a luz vinda de você ou do teu amigo percorreram a mesma distância pois você e os teus amigos estão equidistantes ao longo do eixo-x. Para alguém na Terra isso não ocorreu.
4. O único sinal de luz que correspondeu a um sinal simultâneo com o teu foi o vermelho, algum tempo depois. Este, tanto para você, quanto para o observador do meio, são realmente simultâneos.
5. O relógio do teu amigo adiantou no tempo, pois o primeiro sinal foi realmente enviado na hora combinada!
6. Para o teu referencial (o referencial em movimento x't') o sinal vermelho é equivalente a t'=0. Só quando esse é zero há simultaniedade dentro do referencial em movimento.

Assista outro vídeo que ilustra os gráficos acima aqui.

Próximo artigo é "Parte 3 - Transformações de Lorentz" e iremos tratar do desenvolvimento matemático que demonstra as transformadas de Lorentz. i.e. a função de proporcionalidade que aplicada as transformações relativisticas de Galileu faz valer em todas referenciais.