Parte 1 - Relatividade de Galileu e Newton

Este artigo segue da abertura que está em "Sobre o Blog".

Princípios e Suposições

Vamos começar com uma revisão do que Galileu pensava sobre movimentos relativos, isto é, como ele pensava sobre o tempo e deslocamento relativo a um observador qualquer. Este é um exemplo bem simples estudado por Galileu: Digamos que o observador está parado em relação a um ponto de referência digamos o eixo x e observa um objeto se movendo na direção do eixo x com velocidade constante. É como nós aprendemos na escola. Se um objeto se movimenta na direção x por algum tempo t ele terá uma velocidade igual a v=x/t (i.e., a velocidade dele é a distância x em Km dividida pelo tempo t em minutos). Isso é claro se ele estiver em velocidade constante. No dia-a-dia nada tem uma velocidade constante. Então esse cálculo normalmente serviria apenas para obter a velocidade média do objeto e descreve-la matematicamente em um gráfico. Como se faz com carros em uma corrida, por exemplo.

Iremos, por razão de ilustração, fazer o seguinte experimento mental e plotar um gráfico para descrever movimento. Mas antes de plotarmos os pontos que descrevem a posição do objeto em relação a um cronômetro, vamos fazer as seguintes suposições:

1- Você é o observador que está parado em relação ao eixo x. O tempo é marcado por você que está estacionado na posição x=0.

2- O objeto que se move é o vagão de um trem onde o teu amigo está. O vagão se movimenta para a direita ao longo do eixo x positivo. Convencionando que sempre para direita é a direção positiva e para esquerda a direção negativa.

3- O eixo x é a única trajetória possível para se locomover. São os trilhos do trem. O trem só se pode ir e voltar por eles. Você e o vagão do seu amigo só têm essa dimenção para se locomoverem, o eixo x. Portanto você não pode sair e se mover para outra direção y ou z do mundo 3D, porque assim o trem sairia dos trilhos.

4- O tempo passa de forma que o teu relógio e o do teu amigo que está no vagão estão sincronizados.

5- A cada 250 metros há um marcador que aciona e acende uma luz no vagão anunciando a passagem do carro pelo marco. Você cronometra o acendimento da luz para calcular a velocidade sabendo que essa luz só acende quando o vagão passa pelo marco.

6- O teu amigo faz o mesmo lá de dentro do carro. Ambos anotam os resultados.

Pequeno Exercício

Ao passar por você no marco x=0, você inicia o cronômetro exatamente quando o vagão passa por você. Na estrada do eixo x ele vê que o objeto passa pelo marco de 250m após 30 segundos e assim após 2 minutos ele alcançou o marco de 1Km. Você assim percebe que a velocidade do vagão não mudou pois percorreu quatro trechos de 250m sempre em 30seg cada - conclusão, o vagão tem velocidade de 0,5Km/min i.e. 0,5Km*(60min/1hora) = 30Km/h. Já que se concluiu que a velocidade do carro não mudou durante todo o tempo do teste, concluimos que a velocidade é retilínea e constante i.e. uniforme. Você fez a seguinte anotação em forma gráfica:

O seu amigo também faz as mesmas anotações e plota os resultados em um gráfico similar.

Acima vemos como podemos descrever o movimento de um objeto com trajetória na direção do eixo x e medindo o tempo passado pelo cronômetro do observador posicionado e parado em relação ao eixo x. Isto é, o observador do objeto (vagão) em movimento não se movimenta em relação a origem e tem velocidade v=0 no eixo x.

Repare que você com o cronômetro no eixo x=0 percorre nesse gráfico uma trajetória, mas não uma trajetória no espaço e sim no tempo. Você não se movimenta na dimenção x. O tempo não pára. Tudo nesse gráfico está em movimento no gráfico pois o tempo não pára. Alguém parado em relação ao eixo x na verdade se movimenta no eixo t do gráfico. Nessa análise, o tempo passa igualmente para você e o vagão em movimento.

Em termos matemáticos (agora vamos usar alguma algebra) você está posicionado em x=0. No gráfico x=0 não é um ponto. Um ponto, por exemplo, seria as marcações das observações: x=250m e t=30seg i.e. ponto (0,250Km , 0,5min). Por isso dizemos que neste gráfico você está percorrendo a trajetória ao longo do eixo t. Sua trajetória portanto é a linha da função matemática x=0 onde qualquer valor de t é possível (eg. os pontos (0Km , 0seg), (0Km , 30seg), (0Km , 60seg), etc. existiram e descreveram a sua trajetória no gráfico. Durante todos os valores de tempo, o valor de x é igual a 0 (x=0 pois você não se locomoveu no eixo x) mas t continua mudando e sempre aumentando é claro. Outro exemplo seria uma outra pessoa observando você e o carro na posição x=1Km. A representação matemática deste observador em x=1Km é uma linha vertical que passa pela posição x=1Km e se ele estiver em relação a você sempre parado, após qualquer período ele sempre estará a 1 Km de distância de você. A função matemática que descreve este observador é dada por x=1 no gráfico.

Um pouco de Matemática

Agora, podemos nos perguntar: qual seria a função matemática que descreve a posição do objeto em movimento? Relembrando lá no ensino médio, toda função linear tem a seguinte forma: y=mx + b. Onde m é coeficiente de inclinação da linha dado por:

    ou seja m é a mudança de y divida pela mudança em x.

Aplicando a Matemática

No caso do gráfico (x , t) x é uma função do tempo, i.e. x=f(t) e tem forma x=mt + b, assim teremos m = (x2 - x1)/(t2 - t1). Perceba que a função de tempo é uma equação que representa a sua posição na origem com a posição inicial do teu amigo em b no início da tomada de tempo, neste caso temos b=0.  i.e. m é a velocidade calculada assim: Início da tomada de tempo foi no ponto x1=0 e t1=0, o seguinte ponto registrado foi x2=0,25Km, t2=0,5min o resultado para m fica assim:

m = (0,25Km - 0Km)/(0,5min - 0min)

m= 0,25Km/0,5min

m=0,5Km/min

ou 30Km/h

Portanto de acordo com o que mostramos anteriormente, a função que descreve o deslocamento é: x=mt para b=. Mas podemos daqui por diante chamar m (o coeficiente de inclinação de uma função linear) de v (a velocidade do vagão); assim podemos descrever o movimento do vagão pela seguinte função de tempo x=f(t)=vt+b onde b é zero no caso do vagão que iniciou o teste no ponto x=0, t=0. Portanto a equação que descreve o movimento do teu amigo no vagão é a função x=0,5t + 0 ou simplesmete x=0,5t para descrever o seu movimento. Vamos testar um ponto no futuro? Quando t=2min temos:

x=0,5t

x=(0,5Km/min)*(2min)

x=1Km

Portanto o ponto (1Km , 2min) é um ponto no trajeto do vagão. Assim como fizemos para esse valor de t podemos calcular a posição em x ou a posição no tempo do teu amigo. Por exemplo, poderiamos pergutar: Com quanto tempo após a passagem do vagão ele estará a 5Km de distância?

x=0,5t

5Km=(0,5Km/min)*t

t=5Km/(0,5Km/min)

t=10min

Portanto após 10 minutos o vagão estará posicionado a 5 Km de você em x=0.

Outro Exercício Mais Genérico Que Define as Transformações de Galileu

Outra hipótese mais generalizada seria iniciar o mesmo teste quando o vagão já está avançado a sua frente a uma distância arbitrária, digamos L. Ou seja, quando o vagão passa pelo marco L você começa a cronometrar e fazer o mesmo teste. Agora os cálculos serão exatamente como antes exceto que todas as posições a partir de L irão ter mais essa distância inicial L. i.e. o primeiro marco a ser medido será em 0,25Km + L  e assim por diante. Como antes você calcula a velocidade e verifica que é a mesma do outro teste e permanece constante. Assim teremos o seguinte gráfico:

Repare que a posição inicial do teste é o marco L; i.e. o ponto (L Km , 0 seg). Esse ponto foi onde o teu amigo estava no início do teste. Portanto a posição inicial x' do teu amigo é igual a L no instante t=0. Portanto, nesse gráfico temos: x = vt + x' .
Nota: isso é porque todos os pontos em x'=L terão:

• a distância x em relação a você;
• a distância x' em relação eixo onde x'=0 e;
• o eixo x'=0 sempre terá sua distancia do eixo x=0 aumentando com o tempo. A função x=vt que descreve o eixo x'=0. i.e. Todos os pontos da função x=vt descrevem o eixo x'=0.

Ou seja, como no outro gráfico, x será igual a vt no entanto terá um valor inicial que foi posição do referencial do teu amigo x'.  Conclusão x = vt + x' faz sentido!

O Exercício Sob Outro Ponto de vista

Tudo isso parece trivial. Mas agora imagine que o seu amigo no vagão fica observando você. Para ele você é que está se movimentando para longe dele com uma velocidade exatamente oposta da que você o vê se afastando. Se ele fizesse um gráfico da tua posição em relação a ele, e ele assumindo que está parado em relação ao seu referencial eixo x'=0, esse gráfico seria assim:

Nesse caso agora, para o teu amigo, você está se movendo para longe dele com uma velocidade negativa -v, pois foi convencionado que o movimento do vagão (ou seja do teu amigo) é a direção positiva. A tomada de tempo foi iniciada no marco L onde para o teu amigo significa a posição x. (Nota: Assim como no exercício anterior, agora x é a posição inicial do teu referencial e de fato você sempre está na posição x em termos da distância inicial do teste).

Assim teremos:

Lembrete: A forma das equação que representam qualquer função linear é f(t)=mt+b

Substituindo as variáveis correspondentes:

i.e. m = -v   e    b=x (sua posição inicial)

f(t') = -vt' + x

mas t = t' para cronômetros sincronizados, portanto:

x' = -vt + x

ou

x' = x - vt

Conclusão das transformações de Galileu

Tendo os cronômetros sincronizados corretamente para que tenhamos t=t', teremos f(t')=x' podendo ser descrito por x' = -vt' + x  i.e. o teu movimento será descrito por ele da mesma forma mas com velocidade negativa, x'=-vt' e mais a tua posição inicial x. Lembrando que os cronômetros estão sincronizados para t=t' teremos x' = -vt + x.

Na verdade, era simples provar que x'= -vt + x pela primeira explicação de movimento do vagão do teu amigo onde mostramos que x = vt + x'. É só usa algebra simples:

x = vt + x'

tratando a equação como tal podemos subtrair vt dos dois lados

x - (vt) = vt + x' - (vt)

assim temos

x - vt = x'

o mesmo que

x'= x - vt

Iremos continuar mais tarde com mais conceitos: sincronismo de relógios e cronômetros, teste de simultaniedade, mais movimentos relativos com alguma álgebra e trigonometria... não perca!!!