Relatividade Restrita para Todos: Abreviaturas, Simbolos e Definições Matemáticas

Para facilitar a leitura e agilizar a escrita convencionarei algumas abreviaturas:

eg. é uma abreviatura em latim para "exemplo".

i.e. é uma abreviatura em latim para "isto é".

t é usado para tempo.

F é usado para força.

Movimento ou Velocidade Relativistico(a) é um movimento que chega próximo ou proporcionais a velocidade da luz.

Movimento Retilíneo Uniforme é um movimento ao longo de uma reta e de velocidade constante.

v ou u são usados para velocidades.

x, y, z são usados para descrever direções diferentes no espaço 3D.

+ (sinal de positivo) quer dizer para direita em gráficos, soma em equações.

- (sinal de negativo) quer dizer para esquerda em gráficos, diminuição em equações.

f(x) significa uma função que depende de x assim como f(t) é uma função que depende de t.

x' ou t' têm conotação de relativo; por exemplo x' é um eixo como visto de um outro observador se não o que está em x.

simbolo de proporcionalidade.

* (asterisco) é sinal de multiplicação.

/ (barra diagonal) é sinal de divisão.

^ (sinal circumflexo) significa a potência de forma que eg. 3ˆ2 = 9 ou xˆ2 é o mesmo que

x1 ou x2 denotam diferente posições no eixo x.

m é o coeficiente de inclinação de uma função linear onde a variável independente é x tem a formula no gráfico (x,y):

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$

Conceitos Matemáticos Necessários:

Função de Proporcionalidade

Proporcionalidade é quando duas quantidades se relacionam por proporção. eg. eu tenho 3 vezes o peso do meu filho. i.e. Meu-peso = 3 * Peso-do-meu-filho. Portanto nossos pesos se relacionam a um proporção de 3. Neste caso podemos poderíamos demonstrar a proporcionalidade graficamente através de um ponto, pois meu peso muda independentemente do dele.

Outro exemplo de proporcionalidade seria dizer que em humanos o comprimento (L) do corpo é em geral proporcional ao tamanho da cabeça. Desta forma teríamos:

onde k é um número que representa a proporcionalidade (neste caso entre o comprimento do corpo e o da cabeça)

Fazendo o estudo desta proporcionalidade temos:

Tal que nesses estudo se concluiu que em geral o corpo é proporcional a cabeça tal que

Lcorpo = 8*Lcabeça

Portanto temos a seguinte gráfico para ilustrar esta proporcionalidade:

A função que descreve a proporcionalidade entre o comprimento do corpo e o da cabeça é

Lcorpo = 8*Lcabeça

No entanto muitas outras funções descrevem a proporcionalidade de suas grandezas. Essas proporcionalidades podem ser não-lineares. Assim como o número 8 é uma constante de proporcionalidade que na verdade muda com a idade da pessoa. Ao nascer temos Lcorpo = 4*Lcabeça.

Neste contexto, podemos dizer que a constante k é uma função da idade i.e. é proporcional a idade. Portanto se levarmos em consideração a idade de um indivíduo, a função Lcorpo = 8*Lcabeça não descreve corretamente esta proporção. Pois k=ƒ(i) i.e. k é proporcional a idade. Para descrever ƒ(i) deve haver um estudo para achar qual função matemática que dá o valor de k correto para cada idade. Essa função k denominamos de Função de Proporcionalidade.

Referenciais

O Plano bi-dimencional verde percorre o eixo t.

Funções Lineares

Forma y=mx+b para descrever uma função linear; Para y=f(x), x é a variável independente.
Flexibilizaremos a escolha da disposição do referencial. Em matemática a variável independente sempre é representada pelo eixo horizontal x. Em física a variável independente pode ser o eixo vertical. e.g. em y=mx+b, x é a variável independente mas ela pode estar disposta de outra forma representando o eixo vertical:

Assim como na função onde x=f(t), onde t é a variável independente temos:

Definir uma função linear a partir de dois pontos

Como na figura acima, calcula-se primeiro o coeficiente de inclinação v a partir dos pontos dados, e depois aplica-se um dos pontos dados à equação x=vt+b para obter a interseção (b) com o eixo x.

Assim obtem-se:

que após substituir os valores dos pontos (x1,t1) e (x2,t2) acha-se o valor de v e b para a equação x = vt + b descrever a linha.

Definir um ponto através de duas funções lineares

Supondo que são definidas duas funções lineares como acima. Assim temos um sistema de equações que podem ser resolvido através de vários mecanismos: i.e. matrizes, substituição, soma de equações. No exemplo acima iremos resolve-lo usando soma de equações:

x = 3t + 2

x = - 3t + 8

2x = 0 + 10

portanto x = 5

Se x = 3t + 2 , calculamos t substituindo x = 5

5 = 3t + 2

3 = 3t

t = 1

Portando a interseção das linhas acima se dá no ponto (5, 1).

Funções Trigonométricas

y = sen(x)

A forma genérica de uma função senoide y = ß sen(ƒx) onde:
y = f(x)
x é a variável independete
ß = amplitude da senoide (quando ß=1: +1 ≥ y ≥ -1)
ƒ = frequência da senoide (quando ƒ=1: um ciclo completo se dá em 2π)

y = 2cos(2x)

A forma genérica de uma função cosenoide y = ß cos(ƒx) onde:

y = f(x)

x é a variável independete

ß = amplitude da senoide (quando ß=2: +2 ≥ y ≥ -2)

ƒ = frequência da senoide (quando ƒ=2: um ciclo completo se dá em 2π)

Note que a função cosenoide é defasada em π/2 rad (90˚) da senoide equivalente.

As identidades trigonométricas mais importantes:

Números Complexos e Imaginários

Para acharmos um número que corresponde a um valor de x onde xˆ2 = -1 temos que utilizar da teoria de números complexos e números imaginários, pois √-1 não é um número real, é um número imaginário i. A convenção é que iˆ2 = -1. No plano Imaginário versus Real temos que um ponto complexo pode ser descrito por a+bi onde a corresponde a soma do componente real a e o imaginário bi.

x = a + bi onde i = √-1 . Veja explicação no wikipedia aqui.

Funções Exponenciais e Logarítimicas

Imagine a função exponencial abaixo. Apenas com logarítimos podemos resolver para x:

Mais explicações sobre propriedades das funções logarítimicas leia aqui.

O Logarítimo natural é dado pela função:

Mais explicações sobre propriedades das funções exponenciais leia aqui ou aqui.

A Formula de Euler expressa as funções trigonométricas em relação a funções exponenciais de números imaginários onde as identidades abaixo são verdadeiras:

Precedendo do fato de que

temos:

Vetores

Um vetor é qualquer segmento de reta que tenha sua direção e comprimento definido. Chamamos o comprimento de um vetor de diversas maneiras: módulo, intensidade, magnitude, norma, etc. Sua orientação é denominada como: orientação, direção, sentido, etc.

Um vetor pode representar inúmeras formas matemáticas e físicas. eg. Força, Velocidade, Deslocamento, Momento, etc. O vetor pode estar disposto em qualquer número de dimensões quanto for definido. Mesmo só podendo representar vetores graficamente em até 3 dimensões, podemos representar qualquer dimensão de um vetor por suas projeções nas outras dimensões. Isso é possível pois podemos representar qualquer vetor dentro do espaço referencial por suas projeções nos eixos referenciais. Essas projeções são o que chamamos de componentes de um vetor. A soma de todos componentes de um vetor sempre será ele mesmo. Veja os gráficos de um vetor no referencial cartesiano:

Um vetor também pode ser descrito por um referencial polar:

forma:

onde r é a magnitude e

é o sentido (i.e. ângulo a partir do eixo x)

Vetores podem ser descritos em termos de seus componentes no referencial cartesiano e em termos de seu módulo e sentido no referencial polar. É fácil representar um vetor. Sempre haverá um mínimo de informações para descrever-lo. Este mínimo depende do número de dimensões em que o vetor existe. Por exemplo, um vetor em 2D sempre terá no mínimo duas informações sobre ele para descreve-lo: (x,y) ou

. Em 3D você vai precisar de 3 informações para descreve-lo. eg.: (x,y,z) ou

. Note que o referencial equivalente ao polar em 3D é o referencial esférico.